基于中学物理推导大学物理中功的表达式
一、引言
在大学物理力学部分的教学中，关于功的教学内容是重点，同时也是难点。在大学物理中，质点沿某一曲线从P 点到Q点时，力对质点所做功的表达式一般情况下描述为：
这种表达方式具有更普遍性，但是相对中学物理中功的表达方式，其跨度大，学生较难理解。因为学生习惯于处理质点直线运动情况下力对质点做功的问题，而大学力学中（1）式的这种描述已经把质点的运动推广到三维空间中的曲线运动，对于学生来说比较陌生。机械功的表达式本身可以说是属于第二型曲线积分在力学中的一种具体描述方式，但是低年级大学生学习力学中功的知识点的时候可能在高等数学课上还没有学习到曲线积分的知识。分为四册的高等数学（物理类专业用）把曲线积分安排在第二册中，分为上下两册的高等数学也把曲线积分安排在下册中。普通院校物理学教育专业的学生一般情况下在大一上学期就学习力学教程，学习到功的时候高等数学中不可能学习到曲线积分，一部分非物理学教育专业的学生也在大一学习大学物理学，这时候也不可能学习到曲线积分。对于基础和学习能力相对较差的二本院校学生来说，在没有一定数学基础的情况下直接接受（1）式是存在困难的。论述中学物理教材中功的教学方法的文献比较多，但是大学物理中对功教学的讨论还很缺乏。如果用简单有效的教学方法让学生尽量避开对高等数学的依赖，那么学生对大学物理中功的理解还是能够得到加强，知识点的难度也可以得到化解。
二、知识点和推导方法分析
低年级大学生的思维由于受到中学物理思维的影响，在一定程度上仍然停留在中学物理的学习模式中，因此习惯于只在直线运动中处理力对物体做功的表达式，难以把质点的运动扩展到三维空间的曲线运动中。从理论上来说，质点沿一段曲线运动的过程可以看成是把运动过程分成无数小段，这些小段上近似看成力的大小和方向不变，小线段也可以看成是直线。所以基于这个原理，把质点沿某曲线运动过程中力所做的功看成是全部小曲线上力所做功的总和。从积分的角度出发，这些小线段上力所做功的总和就是积分，用积分式子表示。如果教师只是口头讲述这种理论，在黑板上画出某一曲线，并在曲线上标出力的示意图，然后直接把（1）式列在黑板或多媒体上，那么对于没有学习过曲线积分以及基础相对较差的二本院校学生来说，（1）式这种功的表达方式难以理解，从而影响到关于机械功的问题的处理能力。
为了加深学生对（1）式的理解，教师应该从学生在中学学习的知识点出发，结合力在不同的路径上对质点所做的功可以相加这一要点把质点运动路线逐步变化，问题就能得到比较好的解决。所以质点在曲线上运动过程中力对质点所做功的表达式可以通过下列步骤进行推导。
学生应该理解存在力和在力的方向上产生位移是做功的条件，所以教师可以按照常规的方式对中学阶段力对质点做功的知识点进行回顾，首先在黑板上作图1 所示的示意图，并进行复习和推导。
图1 中学物理中对功的描述
结合如图1（a）分析，直线上的质点在力的作用下从P 点到Q 点，其特点是质点受力方向和质点发生的位移PQ 方向相同。质点在P 到Q 过程中力所做的功是
接着教师复习力对质点做功的形式为力和质点发生的位移之间有一个夹角θ 的情况，如图1（b）所示。这种运动的特点是要求力在发生位移时质点做直线运动，而且在运动过程中力的大小和方向都不发生变化。质点在P 点到Q 点的过程中力所做的功是
学生在中学已经学习过向量的数量积，所以教师可以接着说明衡量力对质点做功的公式（3）可以表示成为力和位移矢量之间的标量积，写成
教师提出，如果质点从P 点到Q 点的过程中不在一条直线上运动，而是经过了若干条首尾相连的直线，这时如何处理力对质点所做的功。然后画图2 所示的示意图，提出质点从P 点到Q 点的过程中运动路径由于某种原因分成了PM1、M1M2和M2Q 三段路线，在这三段直线中力和运动方向之间的夹角分别为θ1，θ2和θ3。则整个运动过程中力对这个质点所做的总功应该表示成为这三段直线上所做的功之和，即
或者表示成为
图2 质点从P 到Q 点运动分成三段
到此为止学生还是比较熟悉的。这时候教师接着在图2 的基础上把图中的三段位移各分成不同方向的更短的六段位移，如图3 所示，引导学生推导出质点从P 点到Q 点的过程中折线上力所做功的总和为
